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By Claudio Canuto, Anita Tabacco

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10. 10 x+2 √ , il cui dominio `e R \ {1}; sia poi g(y) = y, il cui dominio |x − 1| x+2 `e costituito dagli x = 1 `e l’intervallo [0, +∞). Il dominio di g ◦ f (x) = |x − 1| x+2 tali che ≥ 0; dunque, dom g ◦ f = [−2, +∞) \ {1}. |x − 1| ii) Talvolta la funzione composta g ◦f ha dominio vuoto. Ci` o accade, ad esempio, √ 1 se f (x) = (per cui si ha sempre f (x) ≤ 1) e g(y) = y − 5 (il cui dominio 1 + x2 `e [5, +∞)). ✷ i) Sia f (x) = Il prodotto di composizione non `e commutativo: se `e possibile definire tanto g ◦ f quanto f ◦ g (ad esempio quando X = Y = Z), le due funzioni in generale 1 x 1 , si ha g ◦ f (x) = , non coincidono.

In particolare, nel caso dell’iniettivit` a, vale la formula (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . Inoltre, se f e g sono funzioni reali di variabile reale monotone, anche la g ◦ f sar` a monotona: precisamente, sar` a monotona crescente se f e g sono entrambe mo- 48 2 Funzioni notone crescenti oppure monotone decrescenti, mentre sar`a monotona decrescente negli altri casi. Verifichiamo una di tali propriet` a. Sia ad esempio f crescente e g decrescente; se x1 < x2 sono due elementi di dom g ◦ f , allora dalla monotonia di f si deduce f (x1 ) ≤ f (x2 ); successivamente, la monotonia di g implica che g(f (x1 )) ≥ g(f (x2 )).

19). Le propriet` a delle potenze sopra ricordate si traducono nelle seguenti relazioni: loga (xy) = loga x + loga y, ∀x, y > 0 , x loga = loga x − loga y, ∀x, y > 0 , y loga (xy ) = y loga x, 0 ∀x > 0 , ∀y ∈ R . 19. 4 Funzioni trigonometriche e loro inverse Indichiamo qui con X, Y le coordinate nel piano cartesiano R2 . 6 Funzioni elementari e loro propriet` a 55 (0, 0) e raggio unitario, avente quindi equazione X 2 + Y 2 = 1. A partire dal punto A = (1, 0) di intersezione tra la circonferenza e il semiasse positivo delle ascisse, percorriamo la circonferenza in senso antiorario oppure in senso orario.

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