Download Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure: Band II by Prof. Dr. rer. nat. Karl Graf Finck von Finckenstein, Prof. PDF

By Prof. Dr. rer. nat. Karl Graf Finck von Finckenstein, Prof. Dr. rer. nat. Jürgen Lehn, Prof. Dr. rer. nat. Helmut Schellhaas, Prof. Dr. rer. nat. Helmut Wegmann (auth.)

Dieser zweite Band des Arbeitsbuches Mathematik f?r Ingenieure folgt in seinem Aufbau der bew?hrten Konzeption des Arbeitsbuches zur research: Nach einer Darstellung der Fakten werden diese durch ausf?hrliche Bemerkungen erg?nzend aufbereitet und erl?utert. Anhand der zahlreichen Beispiele wird das gewonnene Grundverst?ndnis vertieft und ?ber die angeschlossenen checks und ?bungsaufgaben ?berpr?ft und angewendet. Das Angebot an aktiver Besch?ftigung des Lesers mit den Themen schafft somit die Grundlage f?r ein erfolgreiches Lernen und Arbeiten in den Gebieten Differentialgleichungen, Funktionentheorie, Numerik und Statistik.

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2 Zu der Differentialgleichung yl = 3· y 3 betrachten wir folgende Anfangsbedingungen: a) y(O) = 0, also Xo = Yo = O. Die rechte Seite /(x, y) = 3 . yi ist zwar in ganz ]R2 stetig, aber in keiner (noch so kleinen) Umgebung von (xo, yo) = (0,0) Lipschitz-stetig, denn es gilt 2 /y(x, y) = l73 ' y und dieser Ausdruck wird beliebig groB fUr y -+ O. 3 erfUllt. Tatsachlich existieren 3. Existenz- und Eindeutigkeitsfragen 29 auch viele Losungen des Anfangswertproblems, namlich (vgl. Kapitel1, Beispiel (12»: (x 0 mit beliebigem c y(O) b) + c)3 fiir fur (x - C)3 fUr y(x) = { > -00 -c

Lineare Differentialgleichungen der Ordnung n 47 d) Wir zeigen, dass die drei LOsungen Yl(X) = x, Y2(X) = X2, ya(x) = x a ein Fundamentalsystem hilden. Ihre Wronski-Matrix ist und hat die ffir x = 1 positive Determinante det W(I) = 2. e) Die allgemeine Losung der Differentialgleichung ist damit 1 2 ( ) =-3"+C1X+C2X yx +cax a , (16) Cl , C2 , Ca E R . yII unterscheidet sich von der im vorigen Beispiel nur durch die Storfunktion b(x) = 2x a. Wir suchen auch hier eine Losung fiir x > O. Da eine partikuUire Losung y"(x) jetzt nicht auf der Hand liegt, wenden wir die Methode der Variation der Konstanten gemaB (3) und (4) an, wohei wir das im vorigen Beispiel ermittelte Fundamentalsystem verwenden.

Tionen = k, k = 1,2,3, alle die Vielfachheit 1. Die Funk- bilden ein Fundamentalsystem, und die allgemeine Losung lautet y(x) (5) = Cl' e Z + C2' e 2z + C3' eS'" , Cl,C2,CS E 1R. Die Differentialgleichung y"" +2y'" -2y' -y = 0 hat das charakteristische Polynom 6. Lineare DifferentiaIgleichungen mit konstanten Koeffizienten 53 mit den Nullstellen ~l = -1 (dreifach) und ~2 =1 . Ein Fundamentalsystem lautet Yl(X) = e-'" , Y2(X) = xe-'" , Y3(X) = x 2 . e-'" , Y4(X) = e'" , und die allgemeine LOsung y(x) = (Cl +C2 X+C3 x 2).

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